如题，存点连接
来自知乎

实数的一种构造是「有理数列的极限」。

这里的数列是柯西数列，但我就不重复高等数学教材上的定义了。如果你学过或者手上有书，请翻书。如果没学过，那就随便看看吧。反正，柯西数列的定义中需要一种「距离」的概念。有了这个「距离」，柯西数列就是直观上越来越近的一系列点。在实数的定义中，这个距离很简单，就是两个有理数之前的差的绝对值。比如 3.14 和 3.1 之间的「距离」就是 0.04，而 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, … 就是一个柯西数列。柯西有理数列的极限们就叫做实数。

开头提到的题目中，题主在纠结：如果整数往左一直写下去是什么呢？在初等数学中，这仅仅是一个无穷整数数列，而且这个数列没有定义极限.
但是，我们现在来引入一个新的「距离」。如果一个有理数可以写成的形式，其中 p 和 q 不能被 2 整除，那么我们记 n 的「绝对值」为. 也就是说，如果 n 里包含一个 2 的次幂，那么幂次越高 n 就越「小」，幂次越低 n 就越「大」。在这个「绝对值」下，我们定义两个数的「距离」为.
我知道这个定义很让人纠结。如果你接受这个定义，那么将数字向左无穷写下去，即 这种形式，就有意义了。在新的「距离」下，比如 1, 01, 101, 1101, 01101, 101101 … 这样的数列就成了一个柯西数列。这个数列在新的「距离」下是收敛的。这些无穷数列的极限叫「2-进数」。比如 1, 11, 111, 1111, 11111 … 这个无穷数列，其极限是 -1.（我只是随便举个例子，请勿用初等数学来解释这个例子）。这样的做法自然适用于所有素数 p，相应的我们就有了 p-进数。
如题主所期望的，因为对给定的 p-进数，其位数是无限的，即每个 p-进数都对应一个无穷数列，所以可以用对角线方法证明，p-进数是不可数的。